Сучасне проєктування антен

Сучасне проєктування антен є складною і багатогранною електродинамічною дисципліною, що поєднує фундаментальну хвильову фізику, матеріалознавство та обчислювальні алгоритми. Головна функція антени — взаємне перетворення енергії електромагнітних коливань ліній передачі (хвилеводів, коаксіальних або мікросмужкових трактів) у вільно поширювані радіохвилі відкритого простору і навпаки. Сьогодні антенні системи є критичною ланкою в усіх сферах бездротового зв'язку: від мобільних терміналів і систем супутникової навігації до радіолокаційних комплексів і пристроїв Інтернету речей (IoT).

Оцінка спрямованості для діаграми "олівець" з великими бічними пелюстками

Для антен з вузьким променем типу «олівець» і великими бічними пелюстками можна використовувати підхід з оцінкою середньої інтенсивності випромінювання. В цьому випадку $U_p$ (середня інтенсивність випромінювання для основного променя) можна обчислити за формулою:

$$U_p = \frac{1}{D}$$

(де $D$ — спрямованість).

Використовуючи рівняння апроксимації та припускаючи рівну ширину променя в основних площинах, отримуємо:

$$U_p = \frac{\text{HPBW}^2}{41253}$$

де:

• $\text{HPBW}$ — ширина променя за рівнем половинної потужності в градусах.

Приклад розрахунку: Оцінка впливу бічної пелюстки на спрямованість

Умова:

Антена з вузьким променем має ширини променів $50^\circ$ та $70^\circ$ у головних площинах. У другому розрізі діаграми є бічна пелюстка при $\theta = 60^\circ$, знижена на $5\text{ дБ}$ від піка, і ширина променя під цією пелюсткою становить $30^\circ$. Необхідно оцінити вплив бічної пелюстки на спрямованість.

Рішення:

1. Без урахування бічної пелюстки:

Оцінка спрямованості без урахування бічної пелюстки:

$$D = \frac{41253}{50 \times 70} = 11.79 \quad (10.7\text{ дБ})$$

2. Оцінка для кожного розрізу діаграми:

Основний промінь у першому розрізі:

$$U_{P1} = \frac{50^2}{41253} = 0.0606$$

Основний промінь у другому розрізі:

$$U_{P2} = \frac{70^2}{41253} = 0.1188$$

3. Додавання бічної пелюстки до другого розрізу:

Кутові межі бічної пелюстки: $60^\circ \pm \frac{30^\circ}{2}$, тобто від $45^\circ$ до $75^\circ$.
Бічна пелюстка у другому розрізі додає до інтеграла:

$$U_{PS2} = \frac{\cos 45^\circ - \cos 75^\circ}{4} \times 10^{-5/10}$$

Розрахуємо значення:

$$U_{PS2} = \frac{0.7071 - 0.2588}{4} \times 10^{-0.5} = \frac{0.4483}{4} \times 0.3162 = 0.0354$$

4. Обчислення середньої інтенсивності випромінювання:

$$U_0 = \frac{U_{P1} + (U_{P2} + U_{PS2})}{2} = \frac{0.0606 + (0.1188 + 0.0354)}{2} = 0.1074$$

5. Остаточна оцінка спрямованості:

$$D = \frac{1}{U_0} = \frac{1}{0.1074} = 9.31$$

У децибелах:

$$D_{\text{дБ}} = 10 \log_{10}(9.31) = 9.7\text{ дБ}$$

Висновок

Якщо бічна пелюстка є з обох сторін, її внесок у середню інтенсивність випромінювання збільшить інтеграл для кожного боку, що призведе до ще більшого зменшення спрямованості (з $10.7\text{ дБ}$ до $9.7\text{ дБ}$ у наведеному прикладі).

Обмеження та рекомендації

Такий підхід є наближеним методом для швидкої оцінки спрямованості антен з вираженими бічними пелюстками. Для точніших результатів рекомендується оцифрувати діаграму випромінювання і провести числове інтегрування для кожного розрізу діаграми.

Оцінка спрямованості для візерунків типу "метелик" з нерівними ширинами променів у головних площинах

При нерівних ширинах променів у головних площинах для антен з візерунком типу «метелик» безпосередньо застосовувати попередні формули оцінки спрямованості не можна. Подібна проблема виникає і для деяких антен з вузьким променем (pencil beam), які мають великі бічні пелюстки, що знижують спрямованість, і тому формула (1-19) не дає точних результатів.

Обидві проблеми можна вирішити, розглядаючи спрямованість як оцінку середньої інтенсивності випромінювання.

---

Приклад: Оцінка спрямованості для візерунка типу «метелик» з піком при $50^\circ$ та різними ширинами променів

Умова:

• Візерунок типу «метелик» має пік випромінювання при $50^\circ$ в обох головних площинах.
• Ширини променів на рівні половини потужності ($3\text{ дБ}$) складають $20^\circ$ та $50^\circ$ відповідно.
• Потрібно оцінити спрямованість антени.

---

Рішення:

1. Визначаємо точки на рівні $3\text{ дБ}$ для обох розрізів діаграми:

   • Розріз 1 (ширина променя $20^\circ$):

     Нижня та верхня межі кута:

     $$\theta_1 = 50^\circ - \frac{20^\circ}{2} = 40^\circ, \quad \theta_2 = 50^\circ + \frac{20^\circ}{2} = 60^\circ$$

     Обчислюємо середню інтенсивність випромінювання для цього розрізу:

     $$U_{01} = \frac{\cos \theta_1 - \cos \theta_2}{2} = \frac{\cos 40^\circ - \cos 60^\circ}{2} = \frac{0.7660 - 0.5000}{2} = 0.133$$

   • Розріз 2 (ширина променя $50^\circ$):

     Нижня та верхня межі кута:

     $$\theta_1 = 50^\circ - \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ, \quad \theta_2 = 50^\circ + \frac{50^\circ}{2} = 75^\circ$$

     Обчислюємо середню інтенсивність випромінювання для цього розрізу:

     $$U_{02} = \frac{\cos \theta_1 - \cos \theta_2}{2} = \frac{\cos 25^\circ - \cos 75^\circ}{2} = \frac{0.9063 - 0.2588}{2} = 0.324$$

2. Обчислюємо середнє значення середньої інтенсивності випромінювання:

   $$U_0 = \frac{U_{01} + U_{02}}{2} = \frac{0.133 + 0.324}{2} = 0.228$$

3. Оцінюємо спрямованість:

   Оскільки максимальна інтенсивність випромінювання $U_{\text{max}} = 1$ (нормоване значення), спрямованість:

   $$\text{Спрямованість} = \frac{U_{\text{max}}}{U_0} = \frac{1}{0.228} = 4.38$$

   У децибелах:

   $$10 \log_{10}(4.38) = 6.4\text{ дБ}$$

---

Ускладнений випадок: Різні рівні променів на одній діаграмі

Припустимо, що промені мають різні рівні на одній діаграмі випромінювання:

• У першому розрізі правий пелюсток є основним (пік), а лівий зменшений на $3\text{ дБ}$.
• У другому розрізі обидва піки зменшені на $1\text{ дБ}$ відносно максимального значення.

---

Рішення:

1. Перший розріз:

   • Кожен пелюсток вносить до інтегралу:

     $$U_{\text{пелюстка}} = \frac{U_{\text{max}}(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)}{4}$$

   • Внесок від правого (максимального) пелюстка:

     $$U_{\text{правий}} = \frac{1 \cdot (\cos 40^\circ - \cos 60^\circ)}{4} = \frac{0.7660 - 0.5000}{4} = 0.0665$$

   • Внесок від лівого пелюстка, зменшеного на $3\text{ дБ}$ (коефіцієнт зменшення $10^{-3/10} = 0.5$):

     $$U_{\text{лівий}} = U_{\text{правий}} \times 0.5 = 0.0665 \times 0.5 = 0.03325$$

   • Сума внесків:

     $$U_{\text{сум}} = U_{\text{правий}} + U_{\text{лівий}} = 0.0665 + 0.03325 = 0.09975 \approx 0.100$$

2. Другий розріз:

   • Внесок зменшується на $1\text{ дБ}$ (коефіцієнт зменшення $10^{-1/10} = 0.794$):

     $$U_{02} = U_{02\text{(макс)}} \times 0.794 = 0.324 \times 0.794 = 0.257$$

3. Обчислюємо середнє значення середньої інтенсивності випромінювання:

   $$U_0 = \frac{U_{\text{сум}} + U_{02}}{2} = \frac{0.100 + 0.257}{2} = 0.1785 \approx 0.178$$

4. Оцінюємо спрямованість:

   $$\text{Спрямованість} = \frac{U_{\text{max}}}{U_0} = \frac{1}{0.178} = 5.62$$

   У децибелах:

   $$10 \log_{10}(5.62) = 7.5\text{ дБ}$$

---

Висновок

При оцінці спрямованості для антен з візерунками типу «метелик» та нерівними ширинами променів або різними рівнями випромінювання необхідно враховувати середню інтенсивність випромінювання шляхом інтегрування по кутовим діапазонам променів. Це дозволяє отримати більш точні результати, ніж використання спрощених формул, які передбачають рівні ширини променів та максимуми при $\theta = 0^\circ$.

Примітка: При виконанні таких розрахунків важливо враховувати реальні особливості діаграми випромінювання антени, включаючи асиметрію та різницю в рівнях променів, щоб забезпечити точну оцінку спрямованості.

Візерунок "Метелик" або всеспрямований візерунок

Для деяких антен характерні нулі випромінювання при $\theta = 0^\circ$ і обертальна симетрія навколо осі $z$ (див. Рисунок 1-2). Звичайні методи оцінки спрямованості, як описані раніше, не можуть бути застосовані до цих типів візерунків, оскільки вони передбачають пік променя при $\theta = 0^\circ$.

Типи антен з всеспрямованими візерунками включають:

• логоперіодичні конічні спіралі (мод 2),
• антени зі спеціальними відбивачами,
• ріжки хвилеводів з вищими модами,
• біконічні ріжки,
• антени з хвилеводами, що поширюються.

---

Формула для оцінки спрямованості

Якщо припустити, що вся потужність зосереджена між кутами $\theta_1$ та $\theta_2$ на рівні половини потужності ($3\text{ дБ}$), можна використати формулу, аналогічну до формули Крауса. Середня інтенсивність випромінювання $U_0$ може бути обчислена як:

$$U_0 = \frac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin \theta \, d\theta = \frac{\cos \theta_1 - \cos \theta_2}{2}$$

Оцінка спрямованості

Завдяки обертальній симетрії інтегрування по $\varphi$ виключається, і формула для спрямованості спрощується до:

$$\text{Спрямованість} = \frac{U_{\text{max}}}{U_0} = \frac{2}{\cos \theta_1 - \cos \theta_2}$$

Висновок: Ця формула дозволяє оцінювати спрямованість антен з всеспрямованим або «метеликоподібним» візерунком, коли пік випромінювання не розташований при $\theta = 0^\circ$.

---

Приклад 1: Оцінка спрямованості для візерунка з обертальною симетрією

Припустимо, що діаграма випромінювання має обертальну симетрію і рівень половинної потужності досягається при кутах $35^\circ$ і $75^\circ$. Розрахуємо спрямованість:

$$\text{Спрямованість} = \frac{2}{\cos 35^\circ - \cos 75^\circ} = 3.57 \quad (5.5\text{ дБ})$$

---

Приклад 2: Оцінка спрямованості для візерунка з симетрією відносно площини $\theta = 90^\circ$

Якщо візерунок також має симетрію відносно площини $\theta = 90^\circ$, тоді інтеграл для середньої інтенсивності випромінювання має межі від $0$ до $\pi/2$. У цьому випадку рівняння спрощується до:

$$\text{Спрямованість} = \frac{1}{\cos \theta_1}$$

Припустимо, що діаграма з обертальною симетрією має максимум при $90^\circ$ і ширину променя $45^\circ$. Тоді:

$$\theta_1 = 90^\circ - \frac{45^\circ}{2} = 67.5^\circ$$ $$\text{Спрямованість} = \frac{1}{\cos 67.5^\circ} = 2.61 \quad (4.2\text{ дБ})$$

---

Апроксимація діаграми функцією

Діаграму можна наблизити аналітичною функцією:

$$U(\theta) = B \sin^{2M}(\theta / 2) \cos^{2N}(\theta / 2)$$

Проте інтегрування цієї функції дає лише незначні поліпшення оцінки спрямованості в порівнянні з попереднім спрощеним рівнянням. Цей вираз зручно застосовувати для аналітичного моделювання форми діаграми.

Для визначення показників степеня $M$ та $N$, маючи межі променя $\theta_L$ і $\theta_U$ на рівні $\text{Lvl(дБ)}$, використовуються такі співвідношення:

1. Обчислення коефіцієнта $AA$:

   $$AA = \frac{\ln[\cos(\theta_U / 2)] - \ln[\cos(\theta_L / 2)]}{\ln[\sin(\theta_L / 2)] - \ln[\sin(\theta_U / 2)]}$$

2. Обчислення параметра $TM_2$:

   $$TM_2 = \arctan\sqrt{AA}$$

3. Обчислення показника $N$:

   $$N = -\frac{|\text{Lvl(дБ)}|}{8.68589 \cdot \Big( AA \cdot \big(\ln[\sin(\theta_L/2)] - \ln[\sin(TM_2)]\big) + \ln[\cos(\theta_L/2)] - \ln[\cos(TM_2)] \Big)}$$

4. Обчислення показника $M$:

   $$M = AA \cdot N$$

---

Інша модель для всеспрямованого візерунка з малими бічними пелюстками

Для всеспрямованого візерунка з малими бічними пелюстками та піком променя при $\theta_0$ (вимірюється від осі симетрії) можна використовувати наближення функцією sinc:

$$F(\theta) = \frac{\sin[b(\theta_0 - \theta)]}{b(\theta_0 - \theta)}$$

Спрямованість оцінюється за шириною променя на рівні половинної потужності ($\text{HPBW}$) та піком $\theta_0$ за формулою:

$$\text{Спрямованість (дБ)} = 10 \log_{10}\left( \frac{101}{\text{HPBW} - 0.0027 \cdot \text{HPBW}^2} \sin \theta_0 \right)$$

Ця формула дозволяє швидко оцінити спрямованість у децибелах для всеспрямованих антен із заданими геометричними параметрами променя.

Поняття Pencil Beam та спрямованість антени

Метод, запропонований Краусом, дозволяє оцінювати спрямованість антен з pencil beam (вузьким променем), якщо пік діаграми знаходиться при $\theta = 0^\circ$. Для цього використовується інтегральний підхід, де оцінка інтегралу приблизно дорівнює добутку ширини променя в основних площинах на рівні половини потужності ($3\text{ дБ}$). Ця ідея виникла з теорії кіл, де інтеграл часового імпульсу приблизно дорівнює ширині імпульсу (точки на рівні $3\text{ дБ}$), помноженій на його амплітуду. Вона виражається як:

$$U_0 = \frac{\theta_1 \theta_2}{4\pi}$$

де:

• $\theta_1$ і $\theta_2$ — ширини променів на рівні половини потужності ($3\text{ дБ}$) в основних площинах, у радіанах.

Підсилення (Gain)

Метод, запропонований Краусом, дозволяє оцінювати спрямованість антен з pencil beam (вузьким променем), якщо пік діаграми знаходиться при $\theta = 0^\circ$. Для цього використовується інтегральний підхід, де оцінка інтегралу приблизно дорівнює добутку ширини променя в основних площинах на рівні половини потужності ($3\text{ дБ}$). Ця ідея виникла з теорії кіл, де інтеграл часового імпульсу приблизно дорівнює ширині імпульсу (точки на рівні $3\text{ дБ}$), помноженій на його амплітуду. Вона виражається як:

$$U_0 = \frac{\theta_1 \theta_2}{4\pi}$$

де:

• $\theta_1$ і $\theta_2$ — ширини променів на рівні половини потужності ($3\text{ дБ}$) в основних площинах, у радіанах.

Випромінювання антен

Антени випромінюють сферичні хвилі, що поширюються в радіальному напрямку в системі координат із центром на антені. На великих відстанях сферичні хвилі можна наближено розглядати як плоскі хвилі, що є корисним для спрощення розрахунків. Однак ідеальні плоскі хвилі не є фізично реальними, оскільки для їх утворення потрібна нескінченна потужність.

Вектор Пойнтінга описує напрямок поширення та густину потоку потужності електромагнітної хвилі. Він визначається як векторний добуток електричного та магнітного полів і позначається як $\mathbf{S}$:

$$\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H}^* \quad \left[\text{Вт/м}^2\right]$$

де:

• $\mathbf{E}$ — вектор комплексного електричного поля,
• $\mathbf{H}^*$ — комплексно-спряжений фазор магнітного поля.

Спрямованість (Directivity)

Спрямованість (Directivity) — це міра концентрації випромінювання антени в напрямку максимуму діаграми. Вона визначається як відношення максимальної інтенсивності випромінювання до середньої інтенсивності випромінювання по всій сфері ($4\pi$ стерадіанів):

$$D = \frac{U_{\text{max}}}{U_0}$$

де:

• $U_{\text{max}}$ — максимальна інтенсивність випромінювання,
• $U_0$ — середня інтенсивність випромінювання по повній сфері.

Чому використовують антени?

Антени використовуються для передачі сигналів там, де інші способи неможливі або недоцільні — наприклад, для зв'язку з рухомими об'єктами або через пересічену гірську місцевість. Коли прокладання ліній зв'язку є занадто дорогим чи тривалим, радіоканал забезпечує швидке та надійне розгортання. Проте нерідко виникає хибне враження, що через високі початкові втрати в просторі кабельні лінії завжди мають перевагу перед антенами.

Чи є сенс використовувати антени на коротких дистанціях?

Кабелі та хвилеводи демонструють значно менші втрати на коротких відстанях, тому для малих дистанцій вони зазвичай є кращим вибором. Але закон затухання в них є експоненційним (лінійним у дБ): при кожному подвоєнні відстані втрати в кабелі у децибелах зростають удвічі. У вільному просторі діє зворотний квадратичний закон ($1/R^2$), тому для радіоканалу кожне подвоєння відстані додає лише $6\text{ дБ}$ втрат, незалежно від дистанції.

Рівняння дальності радара та ефективна площа розсіювання (RCS)

Радіолокаційні системи працюють з подвійними втратами на трасі поширення (туди й назад). Передавальна антена радара випромінює електромагнітну хвилю, яка опромінює ціль. Падаюче поле збуджує на провідній поверхні об'єкта високочастотні струми, які перевипромінюють вторинне розсіяне поле. Частина цієї відбитої енергії поширюється у зворотному напрямку та фіксується приймальною антеною.

Більшість сучасних РЛС є моностатичними (використовують спільну апертуру або розташовані поруч антени для передавання і приймання). У бістатичних системах передавач і приймач рознесені у просторі на значну відстань. Приймальний пункт у такій конфігурації є повністю пасивним, що забезпечує високу скритність і радіоелектронну живучість в умовах протидії.

Ефективна площа (Effective Area)

Антени здатні вилучати потужність із електромагнітних хвиль, що поширюються у просторі, і передавати цю енергію на вхідні клеми приймача. Потужність, що надходить на навантаження антени, визначається як добуток густини потоку потужності падаючої хвилі на ефективну площу антени:

$$P_a = S \cdot A_{\text{eff}} \quad [\text{Вт}]$$

де:

• $P_a$ — потужність, виділена на узгодженому навантаженні антени,
• $S$ — густина потоку потужності падаючої електромагнітної хвилі $\left[\text{Вт/м}^2\right]$,
• $A_{\text{eff}}$ — ефективна площа (діюча поверхня) антени $\left[\text{м}^2\right]$.