Візерунок "Метелик" або всеспрямований візерунок

Для деяких антен характерні нулі випромінювання при $\theta = 0^\circ$ і обертальна симетрія навколо осі $z$ (див. Рисунок 1-2). Звичайні методи оцінки спрямованості, як описані раніше, не можуть бути застосовані до цих типів візерунків, оскільки вони передбачають пік променя при $\theta = 0^\circ$.

Типи антен з всеспрямованими візерунками включають:

• логоперіодичні конічні спіралі (мод 2),
• антени зі спеціальними відбивачами,
• ріжки хвилеводів з вищими модами,
• біконічні ріжки,
• антени з хвилеводами, що поширюються.

---

Формула для оцінки спрямованості

Якщо припустити, що вся потужність зосереджена між кутами $\theta_1$ та $\theta_2$ на рівні половини потужності ($3\text{ дБ}$), можна використати формулу, аналогічну до формули Крауса. Середня інтенсивність випромінювання $U_0$ може бути обчислена як:

$$U_0 = \frac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin \theta \, d\theta = \frac{\cos \theta_1 - \cos \theta_2}{2}$$

Оцінка спрямованості

Завдяки обертальній симетрії інтегрування по $\varphi$ виключається, і формула для спрямованості спрощується до:

$$\text{Спрямованість} = \frac{U_{\text{max}}}{U_0} = \frac{2}{\cos \theta_1 - \cos \theta_2}$$

Висновок: Ця формула дозволяє оцінювати спрямованість антен з всеспрямованим або «метеликоподібним» візерунком, коли пік випромінювання не розташований при $\theta = 0^\circ$.

---

Приклад 1: Оцінка спрямованості для візерунка з обертальною симетрією

Припустимо, що діаграма випромінювання має обертальну симетрію і рівень половинної потужності досягається при кутах $35^\circ$ і $75^\circ$. Розрахуємо спрямованість:

$$\text{Спрямованість} = \frac{2}{\cos 35^\circ - \cos 75^\circ} = 3.57 \quad (5.5\text{ дБ})$$

---

Приклад 2: Оцінка спрямованості для візерунка з симетрією відносно площини $\theta = 90^\circ$

Якщо візерунок також має симетрію відносно площини $\theta = 90^\circ$, тоді інтеграл для середньої інтенсивності випромінювання має межі від $0$ до $\pi/2$. У цьому випадку рівняння спрощується до:

$$\text{Спрямованість} = \frac{1}{\cos \theta_1}$$

Припустимо, що діаграма з обертальною симетрією має максимум при $90^\circ$ і ширину променя $45^\circ$. Тоді:

$$\theta_1 = 90^\circ - \frac{45^\circ}{2} = 67.5^\circ$$ $$\text{Спрямованість} = \frac{1}{\cos 67.5^\circ} = 2.61 \quad (4.2\text{ дБ})$$

---

Апроксимація діаграми функцією

Діаграму можна наблизити аналітичною функцією:

$$U(\theta) = B \sin^{2M}(\theta / 2) \cos^{2N}(\theta / 2)$$

Проте інтегрування цієї функції дає лише незначні поліпшення оцінки спрямованості в порівнянні з попереднім спрощеним рівнянням. Цей вираз зручно застосовувати для аналітичного моделювання форми діаграми.

Для визначення показників степеня $M$ та $N$, маючи межі променя $\theta_L$ і $\theta_U$ на рівні $\text{Lvl(дБ)}$, використовуються такі співвідношення:

1. Обчислення коефіцієнта $AA$:

   $$AA = \frac{\ln[\cos(\theta_U / 2)] - \ln[\cos(\theta_L / 2)]}{\ln[\sin(\theta_L / 2)] - \ln[\sin(\theta_U / 2)]}$$

2. Обчислення параметра $TM_2$:

   $$TM_2 = \arctan\sqrt{AA}$$

3. Обчислення показника $N$:

   $$N = -\frac{|\text{Lvl(дБ)}|}{8.68589 \cdot \Big( AA \cdot \big(\ln[\sin(\theta_L/2)] - \ln[\sin(TM_2)]\big) + \ln[\cos(\theta_L/2)] - \ln[\cos(TM_2)] \Big)}$$

4. Обчислення показника $M$:

   $$M = AA \cdot N$$

---

Інша модель для всеспрямованого візерунка з малими бічними пелюстками

Для всеспрямованого візерунка з малими бічними пелюстками та піком променя при $\theta_0$ (вимірюється від осі симетрії) можна використовувати наближення функцією sinc:

$$F(\theta) = \frac{\sin[b(\theta_0 - \theta)]}{b(\theta_0 - \theta)}$$

Спрямованість оцінюється за шириною променя на рівні половинної потужності ($\text{HPBW}$) та піком $\theta_0$ за формулою:

$$\text{Спрямованість (дБ)} = 10 \log_{10}\left( \frac{101}{\text{HPBW} - 0.0027 \cdot \text{HPBW}^2} \sin \theta_0 \right)$$

Ця формула дозволяє швидко оцінити спрямованість у децибелах для всеспрямованих антен із заданими геометричними параметрами променя.